Ավարտելով Մոսկվայի Չայկովսկու անվան պետական կոնսերվատորիան երկու մասնագիտացումներում  (թավջութակ՝ պրոֆեսոր Մ. Չայկովսկայայի դասարանում  և օպերային ու սիմֆոնիկ դիրիժորություն՝ պրոֆեսոր Վ. Սինայսկու դասարանում)՝ Ֆելիքս Կորոբովը շարունակել է ասպիրանտական կրթությունը լարային անսամբլում՝ պրոֆեսոր Ա. Շիլովի դասարանում): Նրան դասավանդել են Տ. Գայդամովիչը, Ա. Բոնդուրյանսկին, Ռ. Դավիդյանը, Կ. Խաչատուրյանը և Մոսկվայի կոնսերվատորիայի այլ ականավոր դասախոսներ:

Կորոբովը իր դիրիժորական կարիերան սկսել է Ռուսաստանի պետական ակադեմիական սիմֆոնիկ նվագախմբի հետ: Երեք համերգաշրջան շարունակ նա եղել է Մոսկվայի Ստանիսլավսկու  և Նեմիրովիչ -Դանչենկոյի անվան ակադեմիական երաժշտական թատրոնի գլխավոր դիրիժորը, ինչպես նաև Կոլոբովի անվան «Նոր օպերա» թատրոնի գլխավոր դիրիժորը։

2004 թ. սեպտեմբերից Կորոբովը նվիրվել է բացառապես Մոսկվայի Ստանիսլավսկու և Նեմիրովիչ-Դանչենկոյի անվան ակադեմիական երաժշտական թատրոնում իր գործունեությանը: Նա համագործակցել է այնպիսի հայտնի պարուսույցների հետ, ինչպիսիք են Ջոնսոն Նոյմայերը, Օլեգ Վինոգրադովը և Յուրի Գրիգորովիչը:

Կորոբովը հյուրախաղերով հաճախ է հանդես գալիս որպես դիրիժոր և թավջութակահար: Ֆելիքս Կորոբովնաշխատել է Ռուսաստանի, Գերմանիայի, Ֆինլանդիայի, Իտալիայի, Ֆիլիպինների և այլ երկրների սիմֆոնիկ նվագախմբերի հետ: Բացի այդ, նա Մոսկվայի Չայկովսկու անվան պետական կոնսերվատորիայի կամերային նվագախմբի գեղարվեստական ղեկավարն ու գլխավոր դիրիժորն է: 2017 թվականի հոկտեմբերից Կորոբովը  համագործակցում է նաև «Լա Սկալայի» հետ։